| 首先声明(a,b)∫f(x)dx，积分上限为b（右边那个），下限为a，即a到b，不要看反了楼上，无穷－无穷是不定型，是可能收敛的。3种方法做这个题1.二重积分转化法积分可看作f(y)=(0,+∞)∫[e^(-πx)]/xdxf(1)-f(2)=(0,+∞)∫[e^(-πx)-e^(-2πx)]/xdxf(y)=f'(y)就相当于i=(2,1)∫f(y)dyf(y)=(0,+∞)∫∂[e^(-πyx)]/∂y*1/xdx=(0,+∞)∫e^(-πyx)*(-πx)*1/xdx=(0,+∞)∫e^(-πyx)*(-π)dx=-1/y对f(y)积分(2,1)∫f(y)dy=(2,1)∫(-1/y)dy=ln2 2.收敛因子法乘以收敛因子e^(-xy)可以稍微弱化函数条件f(y)=(0,+∞)∫[e^(-πx)-e^(-2πx)]*e^(-yx)/xdxi可以看作i=f(0)-f(+∞)=(+∞,0)∫f(y)dy被积函数有一阶连续偏导数求导就是对被积函数求y的偏导数后再积分∂f'(y)=(0,+∞)∫[e^(-πx)-e^(-2πx)]*∂[e^(-yx)]/∂ydx =-(0,+∞)∫[e^(-πx)-e^(-2πx)]*e^(-yx)dx=-(0,+∞)∫[e^(-πx-yx)-e^(-2πx-yx)]dx=-(0,+∞)[-e^(-πx-yx)/(π+y)-e^(-2πx-yx)/(2π+y)]dx=-[1/(π+y)-1/(2π+y)]故积分=f(0)-f(+∞)=-(0,+∞)∫[π/(π+y)-2π/(2π+y)]dy=-(0,+∞)∫ln[(π+y)/(2π+y)]=ln2 3.拉普拉斯变换法f(t)=(0,+∞)∫[e^(-πtx)-e^(-2πtx)]/xdxf(s)=(0,+∞)∫*e^(-st)dts=σ+jω，σ任意取一个使积分收敛的值交换积分次序f(s)=(0,+∞)∫dx(0,+∞)∫[e^(-πtx-st)-e^(-2πtx-st)]/xdt=(0,+∞)∫[1/(πx+s)-1/(2πx+s)]*1/xdx=1/s*(0,+∞)∫[-π/(πx+s)+2π/(2πx+s)]dx=1/s*(0,+∞)∫[-π/(πx+s)+2π/(2πx+s)]dx=ln2/s再取拉普拉斯逆变换1/s的逆变换为u(t)所以f(t)=u(t)积分=f(1)=ln2
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